已知函数$y=-x^{2}+\left(m-3\right)x+2m(m$为常数).
$(1)$试判断该函数的图象与$x$轴的公共点的个数；
$(2)$求证:不论$m$为何值,该函数的图象的顶点都在函数$y=x^{2}+4x+6$的图象上；
$(3)$若直线$y=x$与二次函数图象交于$A$、$B$两点,当$-4\leqslant m\leqslant 2$时,求线段$AB$的取值范围.