已知二次函数$y=mx^{2}+2x-4m-2(m$为常数,$m\neq 0)$.
$(1)$当$m=1$时,求该函数的图象的顶点坐标；
$(2)$当$m$取不同的值时,该函数的图象总经过一个或几个定点,求出所有定点的坐标；
$(3)$已知$A\left(m,2\right)$,$B\left(4,2\right)$.若该函数的图象与线段$AB$恰有$1$个公共点,直接写出$m$的取值范围.