在平面直角坐标系中,如果点$A$、点$C$为某个菱形的一组对角的顶点,且点$A$、$C$在直线$y=x$上,那么称该菱形为点$A$、$C$的"极好菱形".如图为点$A$、$C$的"极好菱形"的一个示意图.已知点$M$的坐标为$\left(1,1\right)$,点$P$的坐标为$\left(3,3\right)$.
$(1)$点$E\left(2,1\right)$,$F\left(1,3\right)$,$G\left(4,0\right)$中,能够成为点$M$、$P$的"极好菱形"的顶点的是______.
$(2)$若点$M$、$P$的"极好菱形"为正方形,求这个正方形另外两个顶点的坐标.
$(3)$如果四边形$MNPQ$是点$M$、$P$的"极好菱形".
①当点$N$的坐标为$\left(3,1\right)$时,求四边形$MNPQ$的面积.
②当四边形$MNPQ$的面积为$8$,且与直线$y=x+b$有公共点时,直接写出$b$的取值范围.