如图,$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$,正三角形$ABC$的顶点$B$的坐标为$\left(2,0\right)$,顶点$A$在$\odot O$上运动.
$(1)$当点$A$在$x$轴上时,求点$C$的坐标；
$(2)$点$A$在运动过程中,是否存在直线$AB$与$\odot O$相切的位置关系?若存在,请求出点$C$的坐标；
$(3)$设点$A$的横坐标为$x$,$\triangle ABC$的面积为$S$,求$S$与$x$之间的函数关系式,并求出$S$的最大值与最小值.