如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=a{x}^{2}+bx+\sqrt{3}(a≠0)$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,连接$AC$,$BC$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$判定$\triangle ABC$的形状；
$(3)$点$P$是直线$BC$上方抛物线上一动点,过点$P$作$PM$∥$x$轴交$BC$于点$M$,作$PN$∥$AC$交$BC$于点$N$,求$PM+PN$的最大值及此时点$P$的坐标.