在数轴上有三个点$A$、$B$、$C$,它们表示的有理数分别为$a$、$b$、$c$.已知$a$是最大的负整数,且$|b+4|+\left(c-2\right)^{2}=0$.

（1）求$A$、$B$、$C$三点表示的有理数分别是多少?

（2）填空:

①如果数轴上点$D$到$A$,$C$两点的距离相等,则点$D$表示的数为＿＿＿；

②如果数轴上点$E$到点$A$的距离为$2$,则点$E$表示的数为＿＿＿；

（3）在数轴上是否存在一点$F$,使点$F$到点$A$的距离是点$F$到点$B$的距离的$2$倍?若存在,请直接写出点$F$表示的数；若不存在,请说明理由.