如图$1$是超市的手推车,如图$2$是其侧面示意图,已知前后车轮半径均为$5cm$,两个车轮的圆心的连线$AB$与地面平行,测得支架$AC=BC=60cm$,$AC$、$CD$所在直线与地面的夹角分别为$30^{\circ}$、$60^{\circ}$,$CD=50cm$.

$(1)$求扶手前端$D$到地面的距离；
$(2)$手推车内装有简易宝宝椅,$EF$为小坐板,打开后,椅子的支点$H$到点$C$的距离为$10cm,DF=20cm,EF$∥$AB,\angle EHD=45^{\circ}$,求坐板$EF$的宽度.(本题答案均保留根号）