如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+4$交$x$轴于$A\left(-1,0\right)$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,$P$为抛物线上的一个动点,且点$P$的横坐标为$m-\frac{3}{2}$.
$(1)$直接写出抛物线的解析式及顶点$D$的坐标；
$(2)$若$m \gt 3$,当抛物线在点$P$和点$A$之间的部分（包括$P$、$A$两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为$m+1$时,求$m$的值；
$(3)$在第一象限的抛物线上是否存在点$P$,使$\angle PBC+\angle ACO=45^{\circ}$,若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,说明理由.