如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$经过点$A\left(-2,0\right)$,点$B\left(0,4\right)$.
$(1)$求这条抛物线的表达式；
$(2)P$是抛物线对称轴上的点,联结$AB$、$PB$,如果$\angle PBO=\angle BAO$,求点$P$的坐标；
$(3)$将抛物线沿$y$轴向下平移$m$个单位,所得新抛物线与$y$轴交于点$D$,过点$D$作$DE$∥$x$轴交新抛物线于点$E$,射线$EO$交新抛物线于点$F$,如果$EO=2OF$,求$m$的值.