已知方程组\left\{\begin{align}&x-y=1+3a\\ &x+y=-7-a\\\end{align}\right.的解$x$为非正数，$y$为负数．

$(1)$求$a$的取值范围；
$(2)$在$a$的取值范围中，当$a$为何整数时，不等式$2ax+x>2a+1$的解为$x< 1.$