如图$1$,二次函数$y=ax^{2}+bx+2$的图象经过$A\left(-1,0\right)$和$B\left(4,0\right)$,交$y$轴于点$C$,连接$BC$.点$D$为第一象限抛物线上一动点,过点$D$分别作$x$轴和$y$轴的垂线,交$BC$于点$E$和点$F$.
$(1)$求此二次函数的解析式；
$(2)$求$\triangle DEF$面积的最大值及此时点$D$的坐标；
$(3)$当$\triangle DEF$面积最大时,在抛物线上是否存在一点$M$,使$\angle OCM=\frac{1}{2}\angle BCD$,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.