如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,点$P$从点$A$开始以$2cm/s$的速度沿$A\rightarrow B\rightarrow C$的方向移动,点$Q$从点$C$开始以$1cm/s$的速度沿$C\rightarrow A\rightarrow B$的方向移动.若$AB=16cm$,$AC=12cm$,$BC=20cm$,已知点$P$,$Q$同时出发,设运动时间为$t$秒.
$(1)$如图①,若点$P$在线段$AB$上运动,点$Q$在线段$CA$上运动,当$t$为何值时,$QA=AP$；
$(2)$如图②,点$Q$在线段$CA$上运动,当$t$为何值时,$\triangle QAB$的面积等于$\triangle ABC$面积的$\frac{1}{4}$；
$(3)$当点$P$到达点$C$时,$P$、$Q$两点都停止运动,当$t$为何值时,$AQ=BP$.