如图,直线$l_{1}$:$y=-\frac{4}{3}x+16$与直线$l_{2}$:$y=kx+b$交于点$M\left(m,12\right)$,与$x$轴交于点$P$,直线$l_{2}$经过点$Q\left(-6,0\right)$,直线$x=n$分别交$x$轴.直线$l_{1}$、$l_{2}$于$A$,$B$,$C$三点.
$(1)$求$m$的值及直线$l_{2}$的函数表达式；
$(2)$当点$A$在线段$PQ$上（不与点$P$,$Q$重合）时,若$AB=2BC$,求$n$的值；
$(3)$设点$D\left(5,6\right)$关于直线$x=n$的对称点为$K$,若点$K$在直线$l_{1}$,直线$l_{2}$与$x$轴所围成的三角形内部（包括边界）,直接写出$n$的取值范围.