如图,甲、乙两人（看成点）分别在数轴$-14$和$15$的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:两人先进行"石头、剪刀、布",而后根据输赢结果进行移动.
①若平局,则甲向东移动$1$个单位长度,同时乙向西移动$1$个单位长度；
②若甲赢,则甲向东移动$3$个单位长度,同时乙向东移动$1$个单位长度；
③若乙赢,则甲向西移动$1$个单位长度,同时乙向西移动$3$个单位长度.
$(1)$从如图的位置开始,若完成了$1$次移动游戏,甲、乙"石头、剪刀、布"的结果为平局,则移动后甲、乙两人相距______个单位长度；
$(2)$从如图的位置开始,若完成了$10$次移动游戏,发现甲、乙每次都有输有赢.设乙赢了$n$次,且他最终停留的位置对应的数为$m$,试用含$n$的式子表示$m$,并求该位置距离原点$O$最近时$n$的值；
$(3)$从如图的位置开始,若进行了$k$次移动游戏后,甲与乙的位置相距$3$个单位长度,直接写出$k$的值.