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计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots +2^{2023}+2^{2024}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots +2^{2023}+2^{2024}$,$\ldots$①
将等式两边同时乘$2$,得:$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots +2^{2024}+2^{2025}$,$\ldots$②
由②$-$①,得:$2S-S=2^{2025}-1$,即:$S=2^{2025}-1$,
$\therefore 1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\ldots +2^{2023}+2^{2024}=2^{2025}-1$.
请你仿照此法回答下列问题:
$(1)$填空:$1+2+2^{2}+2^{3}= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots +2^{9}+2^{10}$.(结果保留幂的形式）
$(3)$计算:$1+(\frac{2}{3})^1+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^3+⋯+(\frac{2}{3})^m$.$(m$为正整数）