如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8cm$,$BC=4cm$.点$P$从点$A$出发,沿$AD$方向向点$D$匀速运动,速度是$1cm/s$；同时,点$Q$从点$B$出发,沿$BA$方向向点$A$匀速运动,速度是$2cm/s$.连接$PQ$,$CP$,$CQ$,设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$.
$(1)$是否存在某一时刻$t$,使得$PQ\bot QC$?若存在,求出$t$的值；若不存在,请说明理由；
$(2)$设$\triangle PQC$的面积为$S(cm^{2})$,求$S$与$t$之间的函数表达式；
$(3)$是否存在某一时刻$t$,使得$\triangle PQC$是等腰三角形?若存在,直接写出$t$的值；若不存在,请说明理由.