定义:若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围之内,则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的"子方程".例如:方程$2x+1=3$的解为$x=1$,不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞-1\\ x-1＜2\end{array}\right.$的解集为$-2 \lt x \lt 3$,易知$x=1$在$-2 \lt x \lt 3$的范围内,所以方程$2x+1=3$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞-1\\ x-1＜2\end{array}\right.$的"子方程".
$(1)$在方程①$-2x-1=3$,②$\frac{x+1}{2}=0$,③$\frac{2x-1}{3}-1=0$中,是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞-1\\ x-1＜2\end{array}\right.$的"子方程"的是______$(填序号)$；
$(2)$若关于$x$的方程$2x+m=1$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2(x-3)＜5\\ \frac{2x+1}{3}＜\frac{x}{2}+1\end{array}\right.$的"子方程",求$m$的取值范围.