新定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"关联方程",例如:方程$x-1=3$的解为$x=4$,而不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞1}\\{x-2＜3}\end{array}\right.$的解集为$2 \lt x \lt 5$,不难发现$x=4$在$2 \lt x \lt 5$的范围内,所以方程$x-1=3$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞1}\\{x-2＜3}\end{array}\right.$的"关联方程".
$(1)$在方程①$2\left(x+1\right)-x=-3$；②$\frac{x+1}{3}-1=x$:③$2x-7=0$中,不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞x-3}\\{3(x-2)-x≤2}\end{array}\right.$的"关联方程"是______$;(填序号)$
$(2)$关于$x$的方程$2x-k=6$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3}{2}≥x}\\{\frac{2x+5}{2}＞\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$的"关联方程",求$k$的取值范围；
$(3)$若关于$x$的方程$\frac{x+5}{2}-3m=0$是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2m}{2}＞m}\\{x-m≤2m+1}\end{array}\right.$的"关联方程",且此时不等式组有$3$个整数解,试求$m$的取值范围.