已知在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,点$E$在射线$CA$上.直线$CD$与直线$BE$相交于点$F$.
$(1)$如图$1$,当点$E$在边$AC$上时,如果$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BF}$,求证:$EF=EC$；
$(2)$如果$AB=AC=\frac{3}{2}BC$,$AD=BC$,
①如图$2$,当$EC=2BC$时,求$\frac{FB}{FC}$的值；
②填空:当$BC=2$,$AC=3AE$时,那么$FC$的长为______.