如图,一次函数$y_{1}=kx+b\left(k\neq 0\right)$与函数为$y_{2}=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A\left(1,6\right)$,$B\left(6,a\right)$两点.
$(1)$求这两个函数的解析式；
$(2)$点$P$在线段$AB$上,过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为$M$,交函数$y_{2}$的图象于点$Q$,若$\triangle POQ$面积为$2$,求点$P$的坐标；
$(3)$根据图象,直接写出满足$y_{1}-y_{2}\leqslant 0$时$x$的取值范围.