在$\triangle ABC$中,$AB=AC$.
$(1)$如图$1$,当$\angle A=90^{\circ}$时,取$AC$上一点$D$,取$BC$上一点$E$,连接$BD$,$DE$.若$BD$平分$\angle ADE$,$AD=DE=2$,求$AC$的长；
$(2)$如图$2$,当$\angle BAC=60^{\circ}$时,取$AB$上一点$F$,取$BC$上一点$G$,连接$FG$,$AG$,延长$BC$至点$H$,连接$AH$.已知$\angle GAH=60^{\circ}$,$AH=AG+FG$,求证:$CH=BF$；
$(3)$当$\angle BAC=60^{\circ}$,点$P$在$\triangle ABC$内部时,连接$AP$,$BP$,$CP$.当$2AP+BP+\sqrt{3}CP$的值最小时,请直接写出$\frac{S_{△BPC}}{S_{△ABC}}$的值.