点$O$为直线$AB$上一点,将一直角三角板$OMN$的直角顶点放在点$O$处,射线$OC$平分$\angle MOB$.

$(1)$如图$1$,若$\angle AOM=30^{\circ}$,求$\angle CON$的度数；
$(2)$在图$1$中,若$\angle AOM=\alpha$,直接写出$\angle CON$的度数（用含$a$的代数式表示）；
$(3)$将图$1$中的直角三角板$OMN$绕顶点$O$顺时针旋转至图$2$的位置,一边$OM$在射线$OB$上方,另一边$ON$在直线$AB$的下方.探究$\angle AOM$和$\angle CON$的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由.