小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池.在水池中央垂直于地面处安装个柱子,在柱子顶端$A$处安装一个喷头向外喷水.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图所示.已知柱子在水面以上部分$OA$的高度为$1.25m$,为使水流形状较为漂亮,要求设计水流在距离柱子$1m$处达到距离水平面最高,且最高为$2.25m$.
$(1)$建立如图所示的平面直角坐标系,求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
$(2)$若不计其他因素,则水池的半径至少为多少米时,才能使喷出的水流不至于落到池外?