综合运用
已知,抛物线$y=ax^{2}+bx+2$如图$1$所示,其对称轴是直线$x=1$.
$(1)$①写出$a$与$b$的数量关系______；
②证明:抛物线与直线$y=-2x+2$有两个交点；
$(2)$如图$2$,抛物线经过点$\left(-1,-1\right)$,将此抛物线记为$F_{1}$,把抛物线$F_{1}$先向左平移$2$个单位长度,再向上平移$1$个单位长度,得抛物线$F_{2}$.
①求抛物线$F_{2}$与$x$轴的交点坐标；
②点$P$为抛物线$F_{1}$上一动点,过点$P$作$x$轴的垂线,交抛物线$F_{2}$于点$Q$,连接$PQ$,以点$P$为圆心、$PQ$的长为半径作$\odot P$.当$\odot P$与$x$轴相切时,求点$P$的坐标.