如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^{2}+mx+n$经过点$A\left(3,0\right)$,$B\left(0,-3\right)$两点,点$P$是直线$AB$上一动点,过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$M$、交$x$轴于点$N$.设点$P$的横坐标为$t$.
$(1)$分别求直线$AB$和这条抛物线的解析式；
$(2)$若$S_{\triangle BPO}=2S_{\triangle APN}$,求此时点$P$的坐标；
$(3)$是否存在这样的点$M$,使得以$A$、$B$、$M$为顶点组成直角三角形?若存在,直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.