据我国古代《周髀算经》记载,公元前$1120$年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为"勾三、股四、弦五".
$(1)$观察:$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$\ldots$,小明发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过,
当勾$=3$时,股$4=\frac{1}{2}\left(9-1\right)$,弦$5=\frac{1}{2}(9+1)$；
当勾$=5$时,股$12=\frac{1}{2}\left(25-1\right)$,弦$13=\frac{1}{2}(25+1)$；
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请你根据小明发现的规律用$n(n$为奇数且$n\geqslant 3)$的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦______$,$并猜想它们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
$(2)$继续观察$4$,$3$,$5$,$6$,$8$,$10$,$8$,$15$,$17$,$\ldots$,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从$4$起也没有间断过.请你直接用$m(m$为偶数且$m\geqslant 4)$的代数式来表示它们的股和弦.