如图,在平面直角坐标系中,直线$l$分别交$x$轴.$y$轴于$A$,$B$两点,点$A$的坐标为$\left(1,0\right)$,$\angle ABO=30^{\circ}$,过点$B$的直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+m$与$x$轴交于点$C$.
$(1)$求直线$l$的解析式及点$C$的坐标；
$(2)$点$D$是直线$BC$上一点,当$\triangle ABD$的面积为$3$时,求点$D$的坐标；
$(3)$点$P$是$y$轴上的点,在坐标平面内是否存在点$Q$,使以$A$,$B$,$P$,$Q$为顶点的四边形是菱形?若存在,求出$Q$点的坐标；若不存在,说明理由.