如图,$\triangle BAC$为等边三角形,在$\angle BAC$内作射线$AP\left(\angle BAP \lt 30^{\circ}\right)$,点$B$关于射线$AP$的对称点为点$D$,连接$AD$,作射线$CD$交$AP$于点$E$,连接$BE$.
$(1)$依题意补全图形；
$(2)$设$\angle BAP=\alpha$,写出$\angle ADC$的大小:______(用含$\alpha$的代数式表示）；
$(3)$用等式表示$EA$,$EB$,$EC$之间的数量关系,并证明.