【定义与性质】
如图,记二次函数$y=a\left(x-b\right)^{2}+c$和$y=-a\left(x-p\right)^{2}+q\left(a\neq 0\right)$的图象分别为抛物线$C$和$C_{1}$.定义:若抛物线$C_{1}$的顶点$Q\left(p,q\right)$在抛物线$C$上,则称$C_{1}$是$C$的伴随抛物线.
性质:①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若$C_{1}$是$C$的伴随抛物线,则$C$也是$C_{1}$的伴随抛物线,即$C$的顶点$P\left(b,c\right)$在$C_{1}$上.


【理解与运用】
$(1)$若二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-2)^{2}+m$和$y=-\frac{1}{2}(x-n)^{2}+\frac{1}{2}$的图象都是抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$的伴随抛物线,则$m=$______,$n= \_\_\_\_\_\_.$
【思考与探究】
$(2)$设函数$y=x^{2}-2kx+4k+5$的图象为抛物线$C_{2}$.
①若函数$y=-x^{2}+dx+e$的图象为抛物线$C_{0}$,且$C_{2}$始终是$C_{0}$的伴随抛物线,求$d$,$e$的值；
②若抛物线$C_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1}$,$0)$,$(x_{2}$,$0)(x_{1} \lt x_{2})$,请直接写出$x_{1}$的取值范围.