填空及解答:
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
$(1)$图$1$是由$4$个全等的直角三角形所拼成的大正方形,中间空白部分是边长为$c$的小正方形,请借助图$1$来验证勾股定理.
​
证明:由等面积法知:$S_{大正方形}=4S_{直角三角形}+S_{小正方形}$
$\therefore$______
$\therefore$______,得证.
$(2)$应用勾股定理
应用场景$1$——在数轴上画出表示无理数的点.
如图$2$,①在数轴上找出表示$2$的点$G$,过点$G$作直线$l$垂直于数轴,在$l$上取点$F$,使$FG=1$,以原点$O$为圆心,$OF$为半径作弧,则弧与数轴的交点$E$表示的数是______.
②在数轴上找出表示$4$的点$A$,过点$A$作直线$l$垂直于数轴,在$l$上取点$B$,使$AB=2$,以表示数$1$的点$D$为圆心,$DB$长为半径作弧,则弧与数轴的交点$C$表示的数是______.
应用场景$2$——解决实际问题.
如图$3$,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5m$,将它往前推$2m$至$C$处时,即水平距离$CD=2m$,踏板离地的垂直高度$CF=1.5m$,它的绳索始终拉直,求绳索$AC$的长.