如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$AB=40cm$,动点$P$、$Q$同时从$A$、$B$两点出发,分别在$AB$、$BC$边上匀速移动,它们的速度分别为$v_{P}=2cm/s$,$v_{Q}=1cm/s$,当点$P$到达点$B$时,$P$、$Q$两点同时停止运动,设点$P$的运动时间为$t s$.
$(1)BP=\_\_\_\_\_\_,BQ=\_\_\_\_\_\_$(用含$t$的式子表示）,$BC=\_\_\_\_\_\_cm$；
$(2)$当$t$为何值时,$\triangle PBQ$为等边三角形?
$(3)$当$t$为何值时,$\triangle PBQ$为直角三角形?