定义:$a$,$b$,$c$为正整数,若$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,则称$c$为"完美勾股数",$a$,$b$为$c$的"伴侣勾股数".如$13^{2}=5^{2}+12^{2}$,则$13$是"完美勾股数",$5$,$12$是$13$的"伴侣勾股数".
$(1)$数$10$______"完美勾股数"（填"是"或"不是"）；
$(2)$已知$\triangle ABC$的三边$a$,$b$,$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6a-8b-10c+50=0$.求证:$c$是"完美勾股数"；
$(3)$已知$m$,$n \gt 0$且$m \gt n$,$c=2m^{2}+2mn+2n^{2}$,$a=m^{2}+4mn+n^{2}$,$b=\sqrt{3}(m+n)$,$c$为"完美勾股数",$a$,$b$为$c$的"伴侣勾股数".多项式$x^{3}-3x^{2}+p$有一个因式$x-m+n$,求该多项式的另一个因式.