定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点$A\left(a,b\right)$,$B\left(c,d\right)$,若点$T\left(x,y\right)$满足$x=\frac{a+c}{3}$,$y=\frac{b+d}{3}$,那么称点$T$是点$A$和$B$的衍生点.
例如:$M\left(-2,5\right)$,$N\left(8,-2\right)$,则点$T\left(2,1\right)$是点$M$和$N$的衍生点.
已知点$D\left(3,0\right)$,点$E\left(m,m+2\right)$,点$T\left(x,y\right)$是点$D$和$E$的衍生点.
$(1)$若点$E\left(4,6\right)$,则点$T$的坐标为______；
$(2)$请直接写出点$T$的坐标（用$m$表示）；
$(3)$若直线$ET$交$x$轴于点$H$,当$\angle DHT=90^{\circ}$时,求点$E$的坐标.