如图,$AD$是$\triangle ABC$的角平分线,$DE$、$DF$分别是$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的高.

（1）求证:$AD$垂直平分$EF$.

（2）若$AB+AC=16$,$S_{\triangle ABC}=24$,$\angle EDF=120^{\circ}$,求$AD$的长.