如果两个不等式存在公共解,那么称这两个不等式互为"友好不等式".
$(1)$在不等式①$2x-1 \lt 0$,②$x\leqslant 2$,③$x-\left(3x-1\right) \lt -5$中,与不等式$x\geqslant 2$互为"友好不等式"的是______$;(填序号)$
$(2)$若关于$x$的不等式$x+2m\geqslant 0$与$2x-3 \lt x+m$不是"友好不等式",求$m$的取值范围；
$(3)$若$a\neq -1$,关于$x$的不等式$x+3\geqslant a$与不等式$ax-1 \lt a-x$互为"友好不等式",求$a$的取值范围.