在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.
$(1)$初步尝试:我们知道:$\tan 60^{\circ}=\_\_\_\_\_\_,\tan 30^{\circ}=\_\_\_\_\_\_,$发现结论:$\tan 2A \_\_\_\_\_\_2\tan A;($选填"$=$"或"$\neq ")$
$(2)$实践探究:如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=2$,$BC=1$,求$\tan \frac{1}{2}A$的值；
小明想构造包含$\frac{1}{2}\angle A$的直角三角形:延长$CA$至点$D$,使得$DA=AB$,连接$BD$,所以得到$\angle D=\frac{1}{2}\angle A$,即转化为求$\angle D$的正切值.请按小明的思路求解$\tan \frac{1}{2}A$；
$(3)$拓展延伸:如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$,求$\tan 2A$.