我们规定.关于$x$,$y$的二元一次方程$ax+by=c$,若满足$a+b=c$,则称这个方程为"幸福"方程.例如:方程$2x+3y=5$,其中$a=2$,$b=3$,$c=5$,满足$a+b=c$,则方程$2x+3y=5$是"幸福"方程,把两个"幸福"方程合在一起叫"幸福"方程组.根据上述规定,回答下列问题,
$(1)$判断方程$3x+5y=8$______"幸福"方程（填"是"或"不是"）；
$(2)$若关于$x$,$y$的二元一次方程$kx+\left(k-1\right)y=9$是"幸福"方程,求$k$的值；
$(3)$若$\left\{\begin{array}{l}{x=p}\\{y=q}\end{array}\right.$是关于$x$,$y$的"幸福"方程组$\left\{\begin{array}{l}{mx+(m+1)y=n-1}\\{mx+2my=n}\end{array}\right.$的解,求$4p+7q$的值.