在$\triangle ABC$中,$\angle B=60^{\circ}$,$D$是边$AB$上的动点,过点$D$作$DE$∥$BC$交$AC$于点$E$,将$\triangle ADE$沿$DE$折叠,点$A$的对应点为点$F$.

$(1)$如图$1$,若点$F$恰好落在边$BC$上,判断$\triangle BDF$的形状,并证明；
$(2)$如图$2$,若点$F$落在$\triangle ABC$内,且$DF$的延长线恰好经过点$C$,$CF=EF$,求$\angle A$的度数；
$(3)$若$AB=9$,当$\triangle BDF$是直角三角形时,直接写出$AD$的长.