探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究:
如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=AC$,点$D$为$BC$边中点,点$E$为边$AB$上的动点,过点$D$作$DF\bot DE$交$AC$于点$F$.
【初步感知】
$(1)$在点$E$的运动过程中,线段$DE$与$DF$始终相等,请证明；
【深入探究】
$(2)$取线段$AE$中点$P$,连接$DP$交$FB$于点$H$,试探究线段$DP$,$FB$之间的数量关系和位置关系,请写出结论并证明；
【拓展运用】
$(3)$在（2）的条件下,连接$AH$.当$AH$平分$\angle PHF$时,求$\frac{BE}{BA}$的值.