在平面直角坐标系中,设二次函数$y=-\frac{1}{2}{({x-2m})^2}+3-m(m$是实数).
$(1)$当$m=2$时,若点$A\left(8,n\right)$在该函数图象上,求$n$的值.
$(2)$小明说二次函数图象的顶点在直线$y=-\frac{1}{2}x+3$上,你认为他的说法对吗?为什么?
$(3)$已知点$P\left(a+1,c\right)$,$Q\left(4m-5+a,c\right)$都在该二次函数图象上,求证:$c\leqslant \frac{{13}}{8}$.