如图$1$,抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点.
$(1)$求该抛物线的解析式；
$(2)$求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
$(3)$若点$D$是抛物线的顶点,求三角形$ABD$的面积；
$(4)$如图$2$,若$P$是抛物线上位于直线$BC$下方的一个动点,设点$P$的横坐标为$t$,当$t$为何值时,三角形$PBC$的面积最大,最大值是多少?