我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时,创制了一幅"勾股圆方图",后人称之为"赵爽弦图".如图,大正方形$ABCD$由$4$个全等的直角三角形和一个小正方形$EFGH$组成,$AB=c$,$BE=a$,$AE=b\left(b \gt a\right)$.
$(1)$请你利用这个图形,推导勾股定理:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
$(2)$若直角三角形$ABE$的面积为$54$,$c=15$,求小正方形$EFGH$的边长.