某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共$100$个,篮球个数不少于排球个数,付款总额不得超过$11200$元,已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表.设该商场采购$x$个篮球.

品名	厂家批发价元$/$个	商场零售价元$/$个
篮球	$120$	$150$
排球	$100$	$120$

$(1)$求该商场采购费用$y(单位:元)$与$x($单位:个）的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围；
$(2)$该商场把这$100$个球全部以零售价售出,求商场能获得的最大利润；
$(3)$受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时,篮球的批发价上调了$3m\left(m \gt 0\right)$元$/$个,同时排球批发价下调了$2m$元$/$个.该体育用品商场决定不调整商场零售价,发现将$100$个球全部卖出获得的最低利润是$2300$元,求$m$的值.