"勾股图"有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.$1955$年希腊发行了以"勾股图"为背景的邮票（如图$1)$,欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究.如图$2$,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,分别以$\triangle ABC$的三条边为边向外作正方形,连接$EB$,$CM$,$DG$,$CM$分别与$AB$,$BE$相交于点$P$,$Q$.若$\angle ABE=30^{\circ}$,则$\frac{{DG}}{{QM}}$的值为______.