如图$1$,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$AC=6$,$BD=8$,动点$P$从点$A$出发,按$A\rightarrow O\rightarrow D$的顺序运动（不含点$A$、$D)$,点$Q$在射线$BC$上运动（不含点$B)$,点$P$、$Q$同时开始运动,当点$P$停止运动,点$Q$同时停止运动.设点$P$的运动路程为$x$,$BQ=\frac{5}{x}$,连接$PD$,$OQ$,设$\triangle APD$的面积为$y_{1}$,$\triangle BOQ$的面积为$y_{2}$.
$(1)$分别求出$y_{1}$,$y_{2}$与$x$之间的函数关系式,并写出$x$的取值范围；
$(2)$在平面直角坐标系中,画出$y_{1}$和$y_{2}$的函数图象,并写出函数$y_{1}$的一条性质:______；
$(3)$结合函数图象,当$y_{1} \lt y_{2}$时,$x$的取值范围为______.