综合与实践
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有"若勾三,股四,则弦五"的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅"弦图"（如图$1)$,后人称之为"赵爽弦图",流传至今.如图$2$,直角三角形的两条直角边分别为$a$,$b$,斜边为$c$.
$(1)$如图$3$,以直角三角形的三边$a$,$b$,$c$为边,分别向外部作正方形,直接写出$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$满足的关系:______.
$(2)$如图$4$,以$Rt\triangle ABC$的三边为直径,分别向外部作半圆,请判断$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$的关系并证明.
$(3)$如图$5$,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓（实线）的周长为$80$,$OC=5$,直接写出该飞镖状图案的面积.