如图$1$,$A$、$B$两点在数轴上对应的数分别为$-16$和$6$.
$(1)$直接写出$A$、$B$两点之间的距离；
$(2)$若在数轴上存在一点$P$,使得$AP=\frac{1}{3}PB$,求点$P$表示的数；

$(3)$如图$2$,现有动点$P$、$Q$,若点$P$从点$A$出发,以每秒$4$个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点$Q$从点$B$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴向左运动,当点$Q$到达原点$O$后立即以每秒$3$个单位长度的速度沿数轴向右运动,求:当$OP=4OQ$时的运动时间$t$的值.