在数轴上有三个点$A$,$B$,$C$它们表示的有理数分别为$a$,$b$,$c$,已知$a$是最大的负整数,且$|b+5|+\left(c-2\right)^{2}=0$.
$(1)a=$______,$b=$______,$c=$______；
$(2)$①如果数轴上点$D$到$A$、$B$两点的距离相等,则点$D$表示的数为______；
②如果数轴上点$E$到点$A$的距离是$5$,则点$E$表示的数为______；
$(3)$在数轴上是否存在一点$F$,使点$F$到点$C$的距离是点$F$到点$B$的距离的$2$倍?若存在,请直接写出点$F$表示的数；若不存在,请说明理由；
$(4)$甲、乙两点分别以每秒$2$个单位长度和每秒$1$个单位长度从点$A$、$C$同时出发向点$B$运动,甲到达$B$点后以原来$2$倍的速度返回,求几秒后甲、乙两点相距$3$个单位长度?