已知函数$y=\frac{|x-3|+k}{2}$,且当$x=1$时$y=2$；
请对该函数及其图象进行如下探究:
$(1)$根据给定的条件,可以确定出该函数的解析式为______；
$(2)$根据解析式,求出如表的$m$,$n$的值；

$x$	$\ldots$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$\ldots$
$y$	$\ldots$	$3$	$2.5$	$2$	$1.5$	$1$	$m$	$n$	$2.5$	$3$	$\ldots$

$m=$______,$n=\_\_\_\_\_\_.$
$(3)$根据表中数据.在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象；
$(4)$写出函数图象一条性质______；
$(5)$请根据函数图象写出当$\frac{|x-3|+k}{2} \gt x+1$时,$x$的值.