已知关于$x,y$的方程组$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{}x-y=a+3\\ 2x+y=5a\\\end{array}\end{array}\right.$

$(1)$若方程组中的$x$为正数，$y$为负数，求$a$的取值范围；

$(2)$若$x>y$，且$y$为非正数，求符合条件的$a$的所有整数的和.